アーベルの数学の前編として、アーベルの代数方程式論が取り上げられている。近代代数方程式論の形成史を語るとき、ラグランジュ、ガウス、アーベル、ガロアの業績は避けて通れない。本書ではアーベルの代数方程式論へのラグランジュとガウスの影響が詳しく解説されている。ラグランジュの分解式とその最小多項式である分解方程式（本書では「還元方程式」）による可解方程式への還元の探求が、後続の研究者に非常に大きな影響を与えたことが明確に読み取れる。また、ガウスの『アリトメチカ研究』第7章が、アーベルの代数方程式論の二大業績といえる「不可能の証明」と「アーベル方程式の概念の発見」に及ぼした決定的な影響が明示されており面白い。
本書で特筆すべきは、代数的可解性を左右する根本的要因は「根の相互関係」であるという「ガウスの認識」と代数的に可解な方程式の根の形状を探求する「アーベルの独創性」を明示し、繰り返し強調している所にある。アーベル方程式は楕円関数の形成史の中で語られるのが相応しく、本書の後編で詳しく取り上げられる予定との事であるが、ガウスの「円周等分方程式」の根の巡回性（可換性）に着目したアーベルの慧眼がアーベル方程式誕生の最初の契機となった、という事実を数学史を愛好する私たちは是非認識しておきたい。
本書を通読して気づいたこと・印象に残ったことを以下に述べてみたい。
先ず、第3章で円周等分方程式の代数的可解性をガウスが周期を用いて究明したことが説明されている。これはラグランジュの分解式と可解方程式への還元という方法の素晴らしい応用例であるが、この究明の様式からガロアが「基礎数体の拡大と群による中間体の統制」というガロアの方程式論の核心ともいうべき美しい情景を見たことは間違いないだろう。例えばD.A.コックス『
ガロワ理論(下)
』に関係する詳しい記述があり、また「ガウス数体上の全てのアーベル方程式はレムニスケート関数の虚数等分方程式によって汲みつくされる」という美しい定理の解説があるので、興味ある方には非常に参考になると思う。
次に、「代数的解法の原則」の明確な認識の有無がラグランジュとガウス・アーベルを画する決定的な一線であり、第6章に述べられているように、アーベルによる「不可能の証明」はこの原則を拠り所としているという事を是非おさえておきたい。
代数方程式論の形成史を学ぶ際に「ガロア理論の知識の功罪」を考えさせられる書でもある。ガロア理論の知識がある今日の私たちは、代数的可解性を左右する根本的要因は方程式の「ガロア群の構造」にあると答えるだろう。また、「不可能の証明」を交代群や対称群の非可解性に帰着させるだろうし、円周等分方程式やアーベル方程式が代数的に可解なのは、それらの方程式のガロア群が巡回群やアーベル群であり、「可解群」であるからと答えるだろう。しかし、最初に創造した人たちの心の中に描かれた情景がそれらとは全く異なったものであった事は、本書に述べられている通りなのである。一方、ガロア理論の知識があれば、代数的に可解な代数方程式の「最小分解体」は、係数体の上に冪根拡大を積み重ねて構成されるので、原方程式の根が代数的な表示式を持てば、その表示式に現れる冪根は原方程式の諸根の有理式として表示される、という「代数的解法の原則」が成立することは容易に推察できる。また、円周等分方程式の最小分解体は円分体なので、ガウスの理論が「円分体の構造論」という様相を呈することも極めて自然に受け容れられるだろう。
最後に、ガウスがアーベルの「不可能の証明」を無視した理由として、ガウス自身が不可能の証明を既に保有しておりそれ自身への関心を既に失っていた、あるいはアーベルの証明方法がガウスの意に添ったものではなかった、のではないかと著者は考察されている。確かにその通りかも知れないが、代数的に可解な方程式の根の形状を具体的に表示するというアーベルの独創的なアイディアを、ガウスほどの大数学者がなぜ評価しなかったのか、という疑問が重く心に残る。著者や数学史愛好の諸賢からご教示を頂けるととても嬉しく思う。
著者が提唱される「ドイツ数学史の構想」をガウスとアーベルの代数方程式論の視点から解説する書とも言えよう。『
ガウスの遺産と継承者たち
』の第3章3節「クロネッカーの数論」と『
ガウスの数論 わたしのガウス (ちくま学芸文庫)
』の第2章「円周等分方程式とアーベル方程式」に関係する記述があるので、参照されると面白く役立つと思う。
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