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イメージ付きのレビュー
数学を本気で学ぶ人ならきっと楽しめる名著
私が圏論を意識し始めたのは「新訂版 数理解析学概論」の線型位相空間の章における超関数の構成を読んでいる時だった. この本では超関数の定義域となる線型位相空間D(Ω)を帰納的極限により定義している. 帰納的極限の定義は図式を描いて理解することができた(レビュー参照). ちょうどかつてTwitterのタイムラインでたまに見ていた, 圏論における可換図式のようなものだった.その時から圏論が気になり始めた. そして「新訂版 数理解析学概論」のレビューで圏論の言葉を使った説明を思いついたのでそれを書いてから, 圏論を本格的に学びたくなってきた.森田の「代数概論」の最終章はおまけ程度であり, 必ずしも圏論の概念の本質が分からなかった. インターネットも参考にしたが, 次に読んだのは「圏論 原著第2版」である. しかしこれは日本語訳がひどくて18ページ目で読む気が失せた. 群論においてケイリーの定理というおもしろい定理があること, 関手は可換図式を可換図式に写すこと, のふたつだけは新たに学べたのでそれは良かったが, この本はおすすめできない.結局, 何かと見聞きする本書と「ベーシック圏論」を読もうと決めた.私は, 本書は初学者でも読めると思う. 訳者による多数の脚注も含めて, 説明がていねいで詳しく, 言い方を変えた繰り返しもあるからである. 私は本書で圏論の概念の本質が少しずつ見えてきた. 「新訂版 数理解析学概論」の説明で使った圏論の言葉にも新たな理解が得られた. そして, 集合論・位相空間論・群・環・多様体・超関数などで学んだことを縦横無尽に使い本書を読んでいくうちに, 圏論の考え方が数学の殆んど至る所で使われているのだと実感した. 全ての数学は, 集合・数学的構造・集合の間の数学的構造を保つ写像, によって記述される. ゆえに本書であらゆる数学の見え方が変わってきた. また「ベーシック圏論」と併読すると理解が進んだ. 互いに説明不足を補っているように感じる.本書ではGB公理系やETCS公理系ではなく, ZFC公理系と宇宙(ユニバース)の存在を前提としており, その意味でも初学者向けである. 表題通り基礎的なことにも詳しい(宇宙や双対性などについて).本書を読んで得られるものは, 楽しみと感動である.なお, 月刊雑誌「数理科学」2007年4月号によると, 圏論は量子力学とも関連があるようである. 私見ではあるが, その記事において「自然な」操作と「双対性」が前半において強調されていることからも, 圏論は量子力学に数学的基礎付けの意味で関連がある. これらは本書でも理解できるように圏論で定式化されているからである.ちなみに本書にはフビニの定理も載っている. フビニの定理とは通常は多重積分の順序の変更についての定理を意味するが, 圏論におけるエンドという概念が積分記号を用いて表され類似の性質を持つ. 私はここも深く理解したいと思っている.以下, 本書を読む際にわずかでも参考になった本でおすすめの本を分野別に挙げておく.幾何学:松本「多様体の基礎」松島「多様体入門」代数学:佐武「線型代数学」(特にテンソル積の部分)松坂「代数系入門」(代数学の初歩かつ基礎)森田「代数概論」(特に加群とテンソル積の部分)雪江「代数学2」(特にテンソル積の部分)堀田「代数入門」(代数学の初歩と指標群について)解析学:金子「偏微分方程式入門」(特に超関数のテンソル積)高橋「新版 複素解析」(特にホモトピー同値の説明)北田「新訂版 数理解析学概論」(特に超関数の構成)河添「群上の調和解析」(特に指標群について)集合論:北田「新訂版 数理解析学概論」(特に集合論の公理系と順序数について)位相空間論:内田「集合と位相」森田「集合と位相空間」北田「新訂版 数理解析学概論」位相群について:大島他「リー群と表現論」(特にリー群の定義)圏論邦訳「ベーシック圏論 普遍性からの速習コース」
上位レビュー、対象国： 日本
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2018年2月28日に日本でレビュー済み
私が圏論を意識し始めたのは「[[ASIN:476870462X 新訂版 数理解析学概論]]」の線型位相空間の章における超関数の構成を読んでいる時だった. この本では超関数の定義域となる線型位相空間D(Ω)を帰納的極限により定義している. 帰納的極限の定義は図式を描いて理解することができた(レビュー参照). ちょうどかつてTwitterのタイムラインでたまに見ていた, 圏論における可換図式のようなものだった.
その時から圏論が気になり始めた. そして「新訂版 数理解析学概論」のレビューで圏論の言葉を使った説明を思いついたのでそれを書いてから, 圏論を本格的に学びたくなってきた.
森田の「代数概論」の最終章はおまけ程度であり, 必ずしも圏論の概念の本質が分からなかった. インターネットも参考にしたが, 次に読んだのは「圏論 原著第2版」である. しかしこれは日本語訳がひどくて18ページ目で読む気が失せた. 群論においてケイリーの定理というおもしろい定理があること, 関手は可換図式を可換図式に写すこと, のふたつだけは新たに学べたのでそれは良かったが, この本はおすすめできない.
結局, 何かと見聞きする本書と「ベーシック圏論」を読もうと決めた.
私は, 本書は初学者でも読めると思う. 訳者による多数の脚注も含めて, 説明がていねいで詳しく, 言い方を変えた繰り返しもあるからである. 私は本書で圏論の概念の本質が少しずつ見えてきた. 「新訂版 数理解析学概論」の説明で使った圏論の言葉にも新たな理解が得られた. そして, 集合論・位相空間論・群・環・多様体・超関数などで学んだことを縦横無尽に使い本書を読んでいくうちに, 圏論の考え方が数学の殆んど至る所で使われているのだと実感した. 全ての数学は, 集合・数学的構造・集合の間の数学的構造を保つ写像, によって記述される. ゆえに本書であらゆる数学の見え方が変わってきた. また「ベーシック圏論」と併読すると理解が進んだ. 互いに説明不足を補っているように感じる.
本書ではGB公理系やETCS公理系ではなく, ZFC公理系と宇宙(ユニバース)の存在を前提としており, その意味でも初学者向けである. 表題通り基礎的なことにも詳しい(宇宙や双対性などについて).
本書を読んで得られるものは, 楽しみと感動である.
なお, 月刊雑誌「数理科学」2007年4月号によると, 圏論は量子力学とも関連があるようである. 私見ではあるが, その記事において「自然な」操作と「双対性」が前半において強調されていることからも, 圏論は量子力学に数学的基礎付けの意味で関連がある. これらは本書でも理解できるように圏論で定式化されているからである.
ちなみに本書にはフビニの定理も載っている. フビニの定理とは通常は多重積分の順序の変更についての定理を意味するが, 圏論におけるエンドという概念が積分記号を用いて表され類似の性質を持つ. 私はここも深く理解したいと思っている.
以下, 本書を読む際にわずかでも参考になった本でおすすめの本を分野別に挙げておく.
幾何学:
松本「[[ASIN:4130621033 多様体の基礎]]」
松島「[[ASIN:478531317X 多様体入門]]」
代数学:
佐武「[[ASIN:4785313013 線型代数学]]」(特にテンソル積の部分)
松坂「[[ASIN:4000056344 代数系入門]]」(代数学の初歩かつ基礎)
森田「[[ASIN:4785313110 代数概論]]」(特に加群とテンソル積の部分)
雪江「[[ASIN:4535786593 代数学2]]」(特にテンソル積の部分)
堀田「[[ASIN:4785314133 代数入門]]」(代数学の初歩と指標群について)
解析学:
金子「[[ASIN:4130629034 偏微分方程式入門]]」(特に超関数のテンソル積)
高橋「[[ASIN:4130621068 新版 複素解析]]」(特にホモトピー同値の説明)
北田「[[ASIN:476870462X 新訂版 数理解析学概論]]」(特に超関数の構成)
河添「[[ASIN:4254115512 群上の調和解析]]」(特に指標群について)
集合論:
北田「新訂版 数理解析学概論」(特に集合論の公理系と順序数について)
位相空間論:
内田「[[ASIN:478531401X 集合と位相]]」
森田「[[ASIN:4254115881 集合と位相空間]]」
北田「新訂版 数理解析学概論」
位相群について:
大島他「[[ASIN:4000061429 リー群と表現論]]」(特にリー群の定義)
圏論
邦訳「[[ASIN:4621300709 ベーシック圏論 普遍性からの速習コース]]」
その時から圏論が気になり始めた. そして「新訂版 数理解析学概論」のレビューで圏論の言葉を使った説明を思いついたのでそれを書いてから, 圏論を本格的に学びたくなってきた.
森田の「代数概論」の最終章はおまけ程度であり, 必ずしも圏論の概念の本質が分からなかった. インターネットも参考にしたが, 次に読んだのは「圏論 原著第2版」である. しかしこれは日本語訳がひどくて18ページ目で読む気が失せた. 群論においてケイリーの定理というおもしろい定理があること, 関手は可換図式を可換図式に写すこと, のふたつだけは新たに学べたのでそれは良かったが, この本はおすすめできない.
結局, 何かと見聞きする本書と「ベーシック圏論」を読もうと決めた.
私は, 本書は初学者でも読めると思う. 訳者による多数の脚注も含めて, 説明がていねいで詳しく, 言い方を変えた繰り返しもあるからである. 私は本書で圏論の概念の本質が少しずつ見えてきた. 「新訂版 数理解析学概論」の説明で使った圏論の言葉にも新たな理解が得られた. そして, 集合論・位相空間論・群・環・多様体・超関数などで学んだことを縦横無尽に使い本書を読んでいくうちに, 圏論の考え方が数学の殆んど至る所で使われているのだと実感した. 全ての数学は, 集合・数学的構造・集合の間の数学的構造を保つ写像, によって記述される. ゆえに本書であらゆる数学の見え方が変わってきた. また「ベーシック圏論」と併読すると理解が進んだ. 互いに説明不足を補っているように感じる.
本書ではGB公理系やETCS公理系ではなく, ZFC公理系と宇宙(ユニバース)の存在を前提としており, その意味でも初学者向けである. 表題通り基礎的なことにも詳しい(宇宙や双対性などについて).
本書を読んで得られるものは, 楽しみと感動である.
なお, 月刊雑誌「数理科学」2007年4月号によると, 圏論は量子力学とも関連があるようである. 私見ではあるが, その記事において「自然な」操作と「双対性」が前半において強調されていることからも, 圏論は量子力学に数学的基礎付けの意味で関連がある. これらは本書でも理解できるように圏論で定式化されているからである.
ちなみに本書にはフビニの定理も載っている. フビニの定理とは通常は多重積分の順序の変更についての定理を意味するが, 圏論におけるエンドという概念が積分記号を用いて表され類似の性質を持つ. 私はここも深く理解したいと思っている.
以下, 本書を読む際にわずかでも参考になった本でおすすめの本を分野別に挙げておく.
幾何学:
松本「[[ASIN:4130621033 多様体の基礎]]」
松島「[[ASIN:478531317X 多様体入門]]」
代数学:
佐武「[[ASIN:4785313013 線型代数学]]」(特にテンソル積の部分)
松坂「[[ASIN:4000056344 代数系入門]]」(代数学の初歩かつ基礎)
森田「[[ASIN:4785313110 代数概論]]」(特に加群とテンソル積の部分)
雪江「[[ASIN:4535786593 代数学2]]」(特にテンソル積の部分)
堀田「[[ASIN:4785314133 代数入門]]」(代数学の初歩と指標群について)
解析学:
金子「[[ASIN:4130629034 偏微分方程式入門]]」(特に超関数のテンソル積)
高橋「[[ASIN:4130621068 新版 複素解析]]」(特にホモトピー同値の説明)
北田「[[ASIN:476870462X 新訂版 数理解析学概論]]」(特に超関数の構成)
河添「[[ASIN:4254115512 群上の調和解析]]」(特に指標群について)
集合論:
北田「新訂版 数理解析学概論」(特に集合論の公理系と順序数について)
位相空間論:
内田「[[ASIN:478531401X 集合と位相]]」
森田「[[ASIN:4254115881 集合と位相空間]]」
北田「新訂版 数理解析学概論」
位相群について:
大島他「[[ASIN:4000061429 リー群と表現論]]」(特にリー群の定義)
圏論
邦訳「[[ASIN:4621300709 ベーシック圏論 普遍性からの速習コース]]」
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