近年のベイズ統計学の普及はMCMCが普及して、さまざまな事象のシュミレーションに使われていることは薄っすらと気づいていましたが、MCMCの実際については理解できませんでした。
本書「はじめての統計データ分析」から、いよいよベイズ統計学に入り、MCMCの理解も進むだろうという期待感を持って読みました。
この本の重要部分は
・第1章[データの整理]
・第2章[MCMCと正規分布の推測]
において詳しく説明されています。
ベイズ統計学では理論分布をデータ生成分布と事前分布の２つの用途に利用します。このとき正規分布は平均と分散の2つのパラメータで推定できることから、便宜上、利用されています。必ずしも真のデータ分布と一致するわけではありません。しかしｎ数が大きいと仮定すれば一致度は高くなるはずです。
ベイズの定理を式で表せば
𝑓 ( 𝝷 │𝙭 ) = 𝑓 ( 𝙭 │𝞱 ) 𝑓 ( 𝝷 ) / 𝑓 ( 𝙭 )
となります。左辺の 𝑓 ( 𝝷 │𝙭 )は事後分布です。事後とは「データを観察した後の」という意味です。ベイズの定理は「データで条件付けられた母数の分布を与える定理」です。
右辺の 𝑓 ( 𝙭 │𝞱 ) は尤度といい、𝑓 ( 𝝷 )は母数の事前分布といい、𝑓 ( 𝙭 )は正規化定数といいます。
ふつう母数は未知、データは既知です。母数を変数として扱い、データを定数として確率密度関数を扱う場合、𝑓 ( 𝙭 │𝞱 )を尤度と呼んでいます。データを固定して、尤度が最大になる値を探します。そのようにして見つかった尤度を最大にする母数の値は、「その値の下で手元のデータが確率的に最も観測されやすい」という意味を持っています。この方法を「最尤推定」と呼びます。
事前確率分布をプライアと呼びます。ベイズの定理の中で母数に関する本質的な情報を含んだ部分を「カーネル」と呼びます。しばしば尤度と事前分布の積（ベイズ定理の分子）がカーネルになります。
正規化定数には母数が含まれていないので事後分布は
𝑓 ( 𝝷 │𝙭 ) ∝ 𝑓 ( 𝙭 │𝞱 ) 𝑓 ( 𝝷 )
のように尤度と事前分布の積からなるカーネル部分だけで示すことがあります。
事前確率分布として一様分布を利用した場合は尤度のみに比例して、尤度の最大値と事後分布の最大値は一致します。
MCMCの特徴は母数の乱数をあたかも測定データのように扱うところにあります。
正規化定数にはしばしば高次積分が含まれて、数千にも及ぶことがあります。近年計算機パワーの進化により、「解析的な重積分」を避けて事後分布に従う乱数をガシガシ発生させて、事後分布そのものをデータとして入手する「発想の転換」がMCMCです。
現代的なベイズ分析では、統計的推論の多くを、このサンプリングされた母数の分析を通じておこないます。
・事前分布の設定
・乱数列の発生（ウオームアップ期間、バーンイン期間、チェインT）
・乱数列の視覚的評価
・乱数列の数値的評価
こうした手順を経て得られた事後分布に母数に関する全ての情報が含まれています。
手元のデータではなく、将来予測されるデータ𝙭﹡を予測したい場合、データ生成分布（尤度）と理論分布の視点を利用して予測分布を得ることが可能です。
予測分布には2つあり、一つが事後予測分布です。事後分布の頻度に応じて母数𝝁と𝝈を呼び出して、それを利用して乱数を発生させます。事後予測分布は将来をていねいに予測したい場合に利用すると良いでしょう。
もう一つは条件付き予測分布です。モデルの分布を 𝑓 ( 𝙭 │𝞱 )とした場合、条件付き予測分布は
𝑓 ( 𝙭﹡ │＾𝞱 )
＾𝞱には何らかの点推定値を用います。条件付き予測分布は正規分布になりますから、数理的に単純です。
生成量とは、MCMC法による標本𝞱 ⁽𝒕⁾の関数𝗀（𝞱 ⁽𝒕⁾）です。簡単に言えば𝞱 ⁽𝒕⁾を原料にして作られたものが生成量です。生成量を利用すると、以下のような分析が可能です。
・分散の点推定・区間推定
・変動係数の点推定・区間推定
・効果量の点推定・区間推定
・％点の点推定・区間推定
・基準点未満の点推定・区間推定
・基準点との比の点推定・区間推定
いずれにしても私には「細かすぎる分析」なので、縁遠いと思います。（苦笑）
第４章[対応ある2群の差と相関の推測]における、共分散と相関係数の説明は優れものでした。また、2変量正規分布も初めて知る機会になりました。
第5章[実験計画による多群の差の推測]における＜要因の効果の大きさ＞において
𝛔²𝑦 = 𝛔²𝑎 + 𝛔²𝑏 + 𝛔²𝑎𝑏 + 𝛔²𝑒
という4つの項が互いに独立であるとする測定値の分散は単純な和になる、という式を見てインスピレーションを受けました。
私は個人投資家として、ベイズ的アプローチを計算なしの直観的手法で行っています。おそらく第6章[比率とクロス表の推測]における離散的なカテゴリカル分布を想定していることが多いと思われます。
・ベルヌイ分布
・2項分布
・多項分布
これらの説明と応用事例は特に参考になります。
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