![数理科学 2024年 04 月号 [雑誌]](https://images-fe.ssl-images-amazon.com/images/I/61AyN44P9kL._AC_UL160_SR160,160_.jpg)
圏論の創始者の一人であるS.マックレーンの著書”Mathematics,Form and Fanction”の訳書になる．
数の概念や幾何学の初歩から話を始め，関数・変換，微積分学，線形代数，空間と形式，力学，複素解析，基礎論（集合や圏）という数学の主要な分野を概観していく．
この本では”数学を行う態度”としての主張（哲学）として，論理主義，集合論，プラトン主義，形式主義，直観主義，経験主義といったものを初めに例示しているが，それらの内で特に集合論と形式主義（ヒルベルト形式主義）を中心的に参考にし，発想として横断的に，時に批判的に見方を変えながら話を進めていく．
扱う数学的内容はごく初歩のものから大学の学部程度（一部はそれ以上もある）のものまでとなる．それらは知識としてはすでに知っておいたほうがよい（数学としては）常識的な話が多く，この本の良さをそういった知識を得る部分には求めないほうがいい．
ヒルベルトの形式主義（公理主義）を端折っていえば，数学の形式化とその形式の対象（あるいは意味）を対にして考えようという態度だ．発生当初は形式化の方法論に抵抗があったものの，この態度は数学の実行として非常にうまくいった．
マクレーンは形式と対象という視点だけでなく変換・作用という視点を強調することで，「形式と作用」，「形式と状況」，すなわち「形式と機能」という観点から数学をまとめられないかという切り口を随所に盛り込んでくる．
これはヒルベルトの形式主義の発想の自然な延長にあるようでもあり，根本的に異なっているようにも見える．
この本は要所で「アイディア」という表現を使う．発想を切り替える時や導入する時，視点を比較する時などなどである．これは数学概念を導入するときの動機・目的などに忠実な表現となっている．
このことによっていくつかの数学の概念や分野が有機的に繋がっている実感を得られる説明となっている．
扱っている数学はこれらのネットワークを意識するための例示になっている．それは例えるなら集合論や圏論が生まれる前夜に戻ってその発見や誕生の小さな再現をしようとしているかのようでもある．
しかし，終わりの11章までは圏の正式な議論は避けていて，途中で説明なしに少しばかり可換図がでてくる程度である．あくまで自然な言葉で語ることを重視している．
例えば5章の6「群」では公理的な群の定義がメタ公理で与えられ，それは集合論的な抽象群を表しているが，それを変換群といういわば作用の群と同一視する自然な方法があることをサラッとかいてある．
普通は経験を通じて理解していくものだがハッキリと言語化して強調している．
これは公理主義の方法論の融通無碍な特徴をよく表しており，群には豊穣な応用があるが，その基礎として抽象群を定める群の（メタ）公理さえあれば充分であるという説明になっている．
そしてこれは公理主義の方法論の強力さを語るだけではなく，圏の発想にもつながっている．
総括すれば，この本は個別の数学的知識に注目するなら，ただ知識を得たい学生が読む価値はさほどない．この本のいわんとすることはそれら個別の数学対象・分野の繋がりに目を向けようという「視点」の重要さである．
そしてその視点には背景として形式的・構成的・概念的・実証的などなど様々な修辞をともなう「アイディア」がある．
この「アイディア」を重視する数学の語り方は後の数学に大きな影響を与えている．
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