![物性物理のための場の理論・グリーン関数[第2版]: 量子多体系をどう解くか? (SGCライブラリ 193)](https://images-fe.ssl-images-amazon.com/images/I/71Iwl+FNCQL._AC_UL165_SR165,165_.jpg)
著者の学生時代の勉強の過程での苦労話やつまずきポイントが明示されていたのが嬉しいですね。
最近の教科書は本当に我ら独学・初学者に手を差し伸べるような書き方で書かれるいるのでお薦めです。
昨今の物価高が数物系の本にも及んでいるので大阪公立大学のような授業料無償でないと貧富の格差は拡大するばかり。
せめて理科系の指定参考書代だけでも国費で7割負担にすべきだと思うが、学術会議の答申で訴えて貰いたい。
さて内容ですが第2章多様体だけでも54から177ｐまでテンソル場とリー微分まで・・・
第3章では多様体の代数トポロジー
第4章ではリーマン幾何と一般相対論と展開しています。
第5章はリー群（群の表現・行列）
概ね多様体を理解していないとイマイチ理解できない、つまり昨今の数理物理学は多様体上で議論されるということ。
再認識させられた内容です。本書の参考文献よりも本書のが読みやすい。
同じ著者の「物理系のための複素幾何入門」サイエンス社とのギャップが縮みうる？
「理工系のための トポロジー・圏論・微分幾何 双対性の視点から」谷村 省吾
「トゥー 多様体」,「微分幾何 入門」佐古彰史、「カラー図解 数学事典」を手元に読もう。
You tube:微分形式って何？:微分形式２ 曲面論へのあてはめ
:テンソル、反変ベクトル、共変ベクトルについてザックリ話してみます。
:曲線座標と一般相対性理論 ② 共変微分
：リー群の入口 などの動画を参考に
：コホモロジー理論の広がり - 望月 拓郎
：第1回羽ばたく女性研究者賞 最優秀賞 山下真由子氏講演
多様体はガウスの曲率研究を一般化した微分幾何学やベクトル解析の研究から各点がn個の座標で局所に
表され、各点のまわりがn次元ユークリッド空間の開集合と同じ位相をもつような集合を抽象化して
n次元多様体が定義された。イメージとしては魚のウロコがうまく(平行移動)接続(共変微分)されたもの。
つまり数学者の頭の中ではベクトル解析というと、局所的には微分幾何、大域的にはトポロジー（位相幾何）を考えることになる。三次元ユークリッド空間では直交座標を取ることです．三次元ユークリッド空間が一つあれば，全世界をカバーできる，という見方です．そのうち，もう少し謙虚に，少なくとも自分の近所（魚の鱗）だけがユークリッド空間になっている，と考えることで多様体という概念を導入します．曲面の近傍という曲面片を考察する小域的理論を張り合わせて接続(共変微分)して魚全体を大域的にみる、高次元化して考察するのが多様体である。「ベクトル解析入門」壁谷＆川上は微分形式に詳しい。
テンソルは多変数の微分積分＝ベクトル解析、その先の学問です。
つまりテンソルとは多次元配列の、そこでは線形代数も必須です。
その定義はベクトル空間に限らず環上の加群(R-加群)のデカルト積を多重線形的に環へ写像する関数の集合がテンソルでありそれはR-加群と多重線形写像で生成された剰余自由R-加群またはテンソル積と言う物に同型って言われても訳が分からない。つまり正確なテンソルの定義を理解するにはややこしい程の数学の基礎が必要されるのです。必要な概念をならべると 双対空間、代数学の基礎である群、環や体あと圏論で現れる普遍性ですね。ざっとこれらを基礎レベルで学ぶだけでもテンソルの実態が見えてくると思います。
ウィキペディア（Wikipedia）でアフィン接続の素晴らしい解説を熟読しよう。
テンソル積とは・既知のベクトル空間・加群から新たなベクトル空間を作り出す操作のことです。
まず各点の近傍ではユークリッド空間で近 似し，計量という量でその構造を決める． さらにその近傍 同士のつなぎかたを接続という量で決めてやることにより， S 全体の構造が決まる。計量は（一般に非線形な）座標変換に対して線形に変換される（テンソル）。どんなに曲がった空間でも，S のある点 p の近くでは，我々のよく 知っているユークリッド空間で近似できる 。点 p の運動の軌跡、接線方向（接 ベクトルという）を定めた近傍Tp はいろいろな向 きの接ベクトルの集合だから接空間と呼ばれる．
空間の構造は局所的な線形構造（計量）とそれらの関係をつなぐアファイン接続（共変微分）から決まる． 通常のリーマン幾何では計量を決めると接続が決まってしまう。
曲がった空間での平行移動を考え、リーマン多様体の標準的な線形接続を「リーマン接続」という。
リーマン接続を２つにずらしたものの差である３次テンソルが双対接続です。リーマン空間に双対接続を導入した多様体で、双対接続の曲率がゼロとなるものを双対平坦と言います。双対平坦であるなら双対なそれぞれの双対接続に対してアフィン座標系が存在します。
数学者の頭の中ではベクトル解析というと、局所的には微分幾何、大域的にはトポロジー（位相幾何）を考えることになる。多様体は局所的にはユークリッド空間（魚の鱗のイメージ）という概念、鱗を矛盾なく貼り合わせて全体で微分積分が可能なら微分可能多様体という。大域的性質を調べるのにホモロジーとコホモロジー の概念がある。風船と浮き輪が同相でないことはオイラー数が異なることで証明される。ホモロジー群は多面体でよく知られるオイラー標数の概念を一般化・抽象化して（面・辺・頂点の形式的な一次結合からなる）加群を使って同相かどうかを調べるのである。それの双対加群を位相空間に対してコホモロジー群を対応させるものである。
（なめらかな）微分可能多様体ではコホモロジー群が考案された。微分形式を利用したのがド・ラムのコホモロジー 群という訳である。つまりホモロジーは図形の位相的なつながりを考察するのに対して、微分形式という解析的な量と関係するド・ラムのコホモロジー 群が一致するという驚愕の事実が示される。
微分幾何学の最後の方にでてくるガウス・ボンネの定理（高次元では微分形式が必要）は位相幾何と微分幾何とを結びつける驚愕の定理であり、その結びつきは基本的にはストークスの定理が実現する。このストークスの定理はベクトル解析の本の終わり出てくる、これが微分形式を使って簡潔な美しい形で示される。図形の基本を三角形からホモロジー、その双対概念でコホモロジーが登場。
ホモロジーは、連結性と向き付け可能の判定に使える。コホモロジーは、関数からなる加群(双対空間)から定義。何をもとにして作ったのかが異なっている。
一般に、ある性質を満たす加群の系列(=鎖複体)があれば、そこからホモロジー、コホモロジーを定義することができる。おおまかに言えば、図形をもとにして作ればホモロジー、関数をもとにして作ればコホモロジーになる。コホモロジーは、与えられた空間にどのような部分空間があるかと大ざっぱに捉えます。関数は加群(足し算とスカラー倍ができる)で、ホモロジーではなくコホモロジーが自然に出てくる。例えば、層のコホモロジーやド・ラームコホモロジーは、どちらも関数的なもの(層、微分形式)から定義されている。多様体論の根幹を成すのはド･ラームの定理です。
『微分可能多様体のホモロジーが微分形式によって検出できる』ことを保証します。
ド･ラームの定理を精密化したものは調和形式といわれ、Hodgeの調和積分論が活躍します。
『接ベクトルに長さが指定されると、微分形式にもそれから誘導される大きさが決まり、
特にド･ラーム コホモロジー類を代表する無限個の閉形式のなかには、
この大きさの観点で最も均整のとれた微分形式がただ一つだけ存在していて、調和形式という。』
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