多様体はガウスの曲率研究を一般化した微分幾何学やベクトル解析の研究から各点がn個の座標で局所に
表され、各点のまわりがn次元ユークリッド空間の開集合と同じ位相をもつような集合を抽象化して
n次元多様体が定義された。イメージとしては魚のウロコがうまく(平行移動)接続(共変微分)されたもの。
つまり数学者の頭の中ではベクトル解析というと、局所的には微分幾何、大域的にはトポロジー（位相幾何）を考えることになる。三次元ユークリッド空間では直交座標を取ることです．三次元ユークリッド空間が一つあれば，全世界をカバーできる，という見方です．そのうち，もう少し謙虚に，少なくとも自分の近所（魚の鱗）だけがユークリッド空間になっている，と考えることで多様体という概念を導入します．曲面の近傍という曲面片を考察する小域的理論を張り合わせて接続(共変微分)して魚全体を大域的にみる、高次元化して考察するのが多様体である。「ベクトル解析入門」壁谷＆川上は微分形式に詳しい。
微分形式とはさまざまな演算が座標変換で不変（魚の鱗を重ねる）であるように工夫された概念である．
ブログ：あもんノート
：とね日記ー一般相対性理論に挑戦しよう！を読んでから
you tube：ベクトルの内積に隠れた「計量」を探そう
:基礎数学I ①多様体論へのいざない,の３０分頃の素晴らしい解説が必見です。
youtube：手短に説明します 重力が時空の曲がりだと思えるのはなぜか
:【素粒子物理学】完全解説：素粒子標準模型・ゲージ理論・対称性・対称性の破れ
：【多様体論】接ベクトル空間における基底変換
弘前大学のブログ：相対論の理解とその周辺、が素晴らしい。
Riemann多様体は一般相対性理論に用いた幾何学で、距離の概念が局所的に異なった「ものさし」を持った空間です。この「ものさし」を「計量」と呼びますが、「計量」とは高校で習う「内積」のことです。
ユークリッド幾何学の計量（長さを計る単位、すなわちものさし）がどの位置（点）でも一定であるのに対し、リーマン幾何学では点によって変わる関数とします。 フィンスラー幾何学での計量は、点と方向の関数として考えられています。 例えば、坂道の途中にいる場合、単位時間に上る距離と下る距離は当然異なり、これはものさしとして採用します．このように，計量に方向を含む空間の性質を研究のすることがフィンスラー幾何学になります。
1．ユークリッド平面の座標と計量
1.1 斜交座標
1.2 斜交座標系とフレーム
1.3 極座標
1.4 曲線座標
1.5 曲線座標系のフレーム
1.6 クリストフェルの記号
1.7 共変微分法
1.8 テンソル
1.9 直線の方程式
2．曲面の計量と曲率
2.1 曲面の接平面と法線
2.2 誘導計量
2.3 第２基本量
2.3 曲面上のテンソル
2.4 ガウス，コダッチの公式
2.5 基本定理
2.5 曲率
2.6 線織面の曲率
2.7 曲率が 0 の曲面
2.8 回転面の曲率
2.9 測地線
2.10 特殊な座標
3．リーマン計量
3.1 Riemannの就任講演から
3.2 微分可能多様体
3.3 接続
3.4 リーマン接続
3.5 曲率テンソル
3.6 定曲率空間
3.7 計量の共形変換
3.8 共形曲率テンソル
3.9 共形的平坦空間
3.10 定曲率空間の計量
3.11 リーマン空間の超曲面
4．種々の一般計量
4.1 フィンスラー幾何学とは
4.2 Finslerの学位論文
4.3 Berwaldの接続
4.4 Cartanのユークリッド接続
4.5 接空間のリーマン計量
4.6 超面積計量
4.7 高次計量と面積計量
5．フィンスラー幾何学
5.1 基本関数について
5.2 一般のフィンスラー接続
5.3 ３つの特徴的なフィンスラー接続
5.4 CΓ，BΓ，RΓ の曲率と捩率
5.5 特殊フィンスラー空間のある系列
5.6 定曲率フィンスラー空間
5.7 接リーマン空間
5.8 ミンコウスキー幾何学
5.9 ２次元フィンスラー空間
5.10 いくつかの話題
5.10.1 ３次元フィンスラー空間
5.10.2 ランダース計量
5.10.3 曲率テンソルの特殊な形
5.10.4 無限小変換
5.10.5 接バンドルへの計量のリフト
微分幾何学とは多様体上の微分である。これらはみな多変数の微積分（ベクトル解析の世界）です。
内容は中学で習う直交座標⇒曲面での斜交座標へと平行移動でどうなるか？直交座標⇒斜交座標：Euclid平面⇒曲面（多様体）。つまり平坦なリーマン多様体＝Euclid平面とみなす。2つの座標間の変換では接続係数という流れで丁寧な計算で追いかけやすいです。接続＝共変微分、接線ベクトル同士が平行＝共変微分＝0，斜交座標で考察する曲面⇒平行移動（線形写像）アファイン接続、リーマン多様体でのアファイン接続をリーマン接続（＝Levi-Civita接続）という。接平面に内積（リーマン計量）を入れて空間に距離が定め,各点で曲線の接線ベクトルの長さが積分で計算出来る。
リーマン幾何学では、滑らかな多様体に線素の長さの概念を付け加えてごく微小な範囲、近傍ではユークリッド空間の魚の鱗(接平面を平行移動⇒接続＝共変微分)とみなす。このようなリーマン多様体上では関数の勾配、ベクトル場の発散や曲線の長さなど様々なユークリッド幾何の概念が（大域的な対称性を落とすことによって）一般化される。リーマン曲率テンソルがリーマン多様体の各点に対して定まり、これによって多様体がどれだけ平坦かをはかることができる。この概念をさらに一般化し、各点での接ベクトル空間にノルムが定義されている状況を考えるフィンスラー幾何学が得られる。
ウイキペディアでのアフィン接続の説明が非常にわかる易いが大事な話です。
平らな平面を曲がった座標系で記述する多様体からリーマン幾何学・双対幾何学の内容です。 微分幾何では，空間の構造は局所的な線形構造（計量）とそれらの関係をつなぐアファイン接続（共変微分）から決まる． 通常のリーマン幾何では計量を決めると接続が決まってしまうが，情報幾何では実数パラメータの自由度があり，双対構造をもっている双対アファイン接続の幾何ということがユニークな点である．でも、情報幾何の多くの適用例では平坦な空間を扱っており，多少の注意は必要だがユークリッド的な世界観でものごとを考えることができる.
曲がった空間での平行移動を考え、リーマン多様体の標準的な線形接続を「リーマン接続」という。
リーマン接続を２つにずらしたものの差である３次テンソルが双対接続です。リーマン空間に双対接続を導入した多様体で、双対接続の曲率がゼロとなるものを双対平坦と言います。双対平坦であるなら双対なそれぞれの双対接続に対してアフィン座標系が存在します。
ネットブログ「一般相対性理論の勘どころ」による名解説：舞台（座標）に登場人物（物理量ベクトル）が上がって初めて劇が成り立つように、共変ベクトルの上に反変ベクトルがあって、初めて物理的実体を測ることができます。
つまり、共変ベクトルと反変ベクトルは１セットで１つの意味を持つが一番分かりやすい。
ネットで「ゆるゆる物理☆ときどき数学」の数学〉テンソル〉共変と反変がメチャ解りやすい。
「初級Mathマニアの寝言」の多様体や共変微分がすごく参考になる。
ブログ「cat_falcon’s diary」⇒そもそも曲面ってなんだ（1）に素晴らしいカラー絵図をみつけたので。
余暇を見つけ併読しながら再チャレンジしようと思いました。
要は直交座標と斜交座標で座標変換でのベクトルの表現がどう変化するかの話。
ネットブログ：ねこ騙し数学⇒テンソル入門は凄くわかりやすい。
ネット検索で「テンソルとは何か」を見て「テンソル空間の分解」を入力すれば役立つ知識が得られる。
ネットブログ「一般相対性理論の勘どころ」による名解説：舞台（座標）に登場人物（物理量ベクトル）が上がって初めて劇が成り立つように、共変ベクトルの上に反変ベクトルがあって、初めて物理的実体を測ることができます。ネットブログで「ゆるゆる物理☆ときどき数学」の数学〉テンソル〉共変と反変、
「今度こそテンソルを理解する」がメチャ解りやすい。
参考 you tube 動画
：微分形式２ 曲面論へのあてはめ
:一般相対性理論への道⑫ 曲率を表すリーマンテンソル シークレット流イメージ直観物理学
直交座標では共変・反変ベクトル（実態は成分のこと）はおなじで。計量テンソル（行列）は逆行列も変化なし。
でも非直交座標では計量テンソルでの考察が必要。また曲がった空間、曲面座標では直交していてもユークリッド空間とは異なる斜交座標での議論になる。
you tube動画：共変微分_①回目がわかりやすい。：テンソルのイメージをつかむ （行列と何が違うの？？）
テンソルは多変数の微分積分＝ベクトル解析、その先の学問です。
つまりテンソルとは多次元配列の、そこでは線形代数も必須です。
その定義はベクトル空間に限らず環上の加群(R-加群)のデカルト積を多重線形的に環へ写像する関数の集合がテンソルでありそれはR-加群と多重線形写像で生成された剰余自由R-加群またはテンソル積と言う物に同型って言われても訳が分からない。つまり正確なテンソルの定義を理解するにはややこしい程の数学の基礎が必要されるのです。必要な概念をならべると 双対空間、代数学の基礎である群、環や体あと圏論で現れる普遍性ですね。ざっとこれらを基礎レベルで学ぶだけでもテンソルの実態が見えてくると思います。
ウィキペディア（Wikipedia）でアフィン接続の素晴らしい解説を熟読しよう。
動画：ざっくりテンソル積を理解しよう
ネットブログで：ねくノート⇒ テンソル積についてかんがえよう
テンソル積とは・既知のベクトル空間・加群から新たなベクトル空間を作り出す操作のことです。
まず各点の近傍ではユークリッド空間で近 似し，計量という量でその構造を決める． さらにその近傍 同士のつなぎかたを接続という量で決めてやることにより， S 全体の構造が決まる。計量は（一般に非線形な）座標変換に対して線形に変換される（テンソル）。どんなに曲がった空間でも，S のある点 p の近くでは，我々のよく 知っているユークリッド空間で近似できる 。点 p の運動の軌跡、接線方向（接 ベクトルという）を定めた近傍Tp はいろいろな向 きの接ベクトルの集合だから接空間と呼ばれる．
空間の構造は局所的な線形構造（計量）とそれらの関係をつなぐアファイン接続（共変微分）から決まる． 通常のリーマン幾何では計量を決めると接続が決まってしまう。
曲がった空間での平行移動を考え、リーマン多様体の標準的な線形接続を「リーマン接続」という。
リーマン接続を２つにずらしたものの差である３次テンソルが双対接続です。リーマン空間に双対接続を導入した多様体で、双対接続の曲率がゼロとなるものを双対平坦と言います。双対平坦であるなら双対なそれぞれの双対接続に対してアフィン座標系が存在します。
アインシュタインの重力方程式は時間に関数幾何的な量（リッチテンソル）と物理的な場に関する量（エネルギー運動量テンソル）が結びついている。これらの量は時空を記述するローレンツ計量を基準として計られるべき量である。
ガウス曲率はリーマン曲率テンソルとして一般化され次元が高くなると４階のテンソルとして表現される。
しかし曲率テンソルそのままでは複雑すぎそれを制限した断面曲率。縮約をとることで得られるリッチ曲率、さらなる縮約をとったスカラー曲率が有効でアインシュタインの重力方程式にはリッチ曲率とスカラー曲率が現れる。
今日では曲率概念より根源的な接続を使って定義されている。
ホモトピー論は「連続的変形の理論」という概念。
現代幾何学での基本的な言語としてファイバー束が使われる。
二次元球面の接束を出発点としてファイバー束という視点を導入し, 可微分多様体の接束はベクトル束という構造を持ち, また, トポロジーの入門で 基本群が扱われるが, 基本群と関係が深いのは被覆空間であり, これもファイバー束の特別な場合である。最近になって，量子力学の波動「関数」が実は関数ではなく，位相変換の自由度をもつ，ファイバー束の「切断」であると認識された。
関連書
事前に理解しやすい以下の書を手元に置いて読もう。
「微分幾何入門」佐古彰史が素晴らしい。
「基礎物理から理解するゲージ理論」川村嘉春が最高にわかりやすい。
「ゲージ理論の基礎数理」橋本義武
「理工系のための トポロジー・圏論・微分幾何 双対性の視点から」谷村省吾
「ファイバー束とホモトピー 」玉木大のｐ．100まで
「微分幾何学講義―リーマン・フィンスラー幾何学入門 」s.s.チヤ－ン
「テンソル解析 (マグロウヒルシャウムアウトラインシリーズ) 」プレアデス出版が超わかりやすい。
「微分・位相幾何」和達三樹と「物理学における幾何学的方法」B.F. シュッツ
は多様体や微分形式・ファイバー束の物理への応用が確認できる名著
you tube :一般相対性理論への道⑫ 曲率を表すリーマンテンソル シークレット流イメージ直観物理学
:【多様体論】接ベクトル空間における基底変換
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